Responda rápido, o que é maior: o conjunto dos números naturais (1,2,3,4...) ou o dos números pares (2,4,6,8...)? Bom, assim de cara, dá para dizer que o dos números naturais, já que ele inclui tanto os pares quanto os ímpares.
Mas vamos pensar um pouco mais no assunto.
Um número par é nada mais, nada menos que o dobro de um número natural -- 2 é o dobro de 1; 6 é o dobro de 3; 4 é o dobro de 2, e assim por diante. Mas todo número natural, sem exceção, tem seu dobro, da mesma forma que cada pessoa tem sua cabeça.Portanto: da mesma forma que o número de cabeças é igual ao de pessoas, o de pares é igual ao de naturais.
Quando uma coisa assim acontece -- uma pergunta simples ter duas respostas que parecem perfeitamente racionais e corretas, mas irreconciliáveis -- existe uma tendência muito natural em desconfiar de que alguma coisa aí deve ser evitada.
Galileu Galilei usou um paradoxo parecido com o dos números pares e naturais para argumentar que conceitos como "igual", "maior" e "menor" não podem ser aplicados a quantidades infinitas, porque o resultado é incoerente.
E durante séculos a questão ficou assim, com o infinito sendo usado como uma espécie debrinquedo retórico por filósofos e teólogos, de um lado, e tratado como a tia maluca trancada no sótão -- de quem não se deve falar em público -- pelos matemáticos, do outro.
Mas aí chegam o século 19 e Georg Cantor, que faz uma pergunta simples: o que significa dizer que dois conjuntos são do mesmo tamanho? Significa que a cada elemento individual de um pode ser associado um único elemento do outro, sem sobra; assim, se você tem cães e bifes, você tem o mesmo número de cães e de bifes se cada animal receber um bife e não sobrar nada. Você tem um número maior de cães do que de bifes se algum dos animais ficar sem seu pedaço de carne; e tem um número menor de cães do que de bifes se sobrarem bifes.
Usando essa definição simples, Cantor resolveu o paradoxo de Galileu: se a totalidade dos números pares e a totalidade dos números naturais podem ser associadas da mesma forma que cães e bifes (ou de pessoas e cabeças), então as totalidades são iguais.
E Cantor foi além. Do mesmo modo que podemos usar conjuntos finitos para representar conceitos numéricos -- por exemplo, os conjuntos (a,b), (cão, bife), (&,@) ligam-se todos, conceitualmente, ao número "2" -- ele resolveu dar ao conjunto infinito dos números naturais seu próprio conceito numérico, definindo o primeiro (e menor) dos números transfinitos, o aleph-zero (se alguém souber como criar o caractere "aleph" dentro do Wordpress, me avise).
[Nota: nos comentários me mandaram o caractere: ?]
Cantor também demonstrou que existem infinitos maiores que aleph-zero -- isto é, conjuntos infinitos que contêm mais elementos que o conjunto dos números naturais. Esses são os chamados infinitos "incontáveis", entre os quais está o conjunto dos reais, que inclui números que não podem ser expressados sob a forma de frações de números inteiros, por exemplo pi (3,141592...).
A totalidade dos reais é incontável porque não importa como se tente listá-los -- seja em sequência crescente ou em qualquer outro esquema -- sempre é possível criar um novo que não estará na lista. Essa resistência a todas as tentativas de um enfileiramento claro, que permita a criação de uma correspondência termo-a-termo com os números naturais, faz com que pertençam a uma ordem de infinito superior a ?-zero.
[Nota: os dois parágrafos acima foram refeitos após sugestões e correções surgidas nos comentários]
Abaixo, uma animação baseda em trabalho de M.C. Escher usando o símbolo do infinito, o "8" deitado ou faixa de Möbius:
